Contare (Counting)Il suo significato è "contare (shǔ) tutti i numeri possibili in un piano dato". È la pietra angolare della combinatoria, con l'obiettivo di scomporre logicamente eventi complessi in operazioni locali semplici, disgiunte o ordinate.
Immagina di dover entrare in un cortile:
1. Addizione per classi (parallela)Sul muro ci sono $m$ porte a sinistra e $n$ porte a destra. Basta sceglierne una per entrare. Numero di metodi: $m+n$.
2. Moltiplicazione per passi (seriale)Devi attraversare due muri: il primo ha $m$ porte, il secondo ne ha $n$. Devi superare entrambi i passaggi. Numero di metodi: $m \times n$.
Immagina di dover entrare in un cortile:
1. Addizione per classi (parallela)Sul muro ci sono $m$ porte a sinistra e $n$ porte a destra. Basta sceglierne una per entrare. Numero di metodi: $m+n$.
2. Moltiplicazione per passi (seriale)Devi attraversare due muri: il primo ha $m$ porte, il secondo ne ha $n$. Devi superare entrambi i passaggi. Numero di metodi: $m \times n$.
Definizione fondamentale dei principi di conteggio
Principio di conteggio per addizione per classiPer problemi di "classificazione", ogni categoria può completare il compito in modo indipendente. Il nucleo è l'unione disgiunta degli insiemi: $N = m_1 + m_2 + \dots + m_n$.
Principio di conteggio per moltiplicazione per passiPer problemi di "passaggi sequenziali", ogni fase dipende dalle precedenti e tutte devono essere completate per considerare il compito finito. Il nucleo è il prodotto cartesiano delle percorsi: $N = m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n$.
La classificazione enfatizza l'"indipendenza e completezza", mentre i passi enfatizzano l'"dipendenza e continuità".
Classificazione indipendente $\implies \sum n_i$
Passi consecutivi $\implies \prod m_i$
Passi consecutivi $\implies \prod m_i$